Ensembles finis Exemples

$\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}}^{4} = x^{4}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}$ comme ${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(12 x^{2} - 35)}^{1} = x^{4}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$12 x^{2} - 35 = x^{4}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} - 35 - x^{4} = 0$

Étape 3.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- u^{2} + 12 u - 35 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 12 u - 35$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 12 u - 35 = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $12 u$ .

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 35 = 0$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - (- 12 u)$ .

$- (u^{2} - 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - 12 u) - 1 (35)$ .

$- (u^{2} - 12 u + 35) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $u^{2} - 12 u + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 7, - 5$

Étape 3.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 7) (u - 5)) = 0$

Étape 3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 7) (u - 5) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Étape 3.5

Définissez $u - 7$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u - 7$ égal à $0$ .

$u - 7 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 7$

Étape 3.6

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 7) (u - 5) = 0$ vraie.

$u = 7, 5$

Étape 3.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 7$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Étape 3.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 7$

Étape 3.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Étape 3.10.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.10.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{7}$

Étape 3.10.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{7}$

Étape 3.10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Étape 3.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 5$

Étape 3.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 5$

Étape 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 3.12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 3.12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 3.12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 3.13

La solution à $- x^{4} + 12 x^{2} - 35 = 0$ est $x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$ vrai.

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Forme décimale :

$x = 2.64575131 \dots, 2.23606797 \dots$